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【数学】函数复习注重数形结合
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| 中国教育先锋网 2004-12-16 |
函数是高中数学的主线，贯穿于各章之中，以下就函数复习谈几点建议，供参考。
注重定义域
定义域是函数的“生命之域”，一定要崩紧这根弦。对已知函数要先考虑定义域，例如求函数y＝logx-1(x2-2x-3)的单调区间。常见错误：当x∈（-∞，1)时，y递减，当x∈(1,+∞）时，y递增；或只考虑真数的取值范围，忽略底数的取值范围。又如判断函数y=(1-x)1-x1+x姨的定义域。不考虑定义域常把函数化成y＝1-x
2姨，判断为偶函数，其实，函数的定义域为(-1,1]，既不是奇函数又不是偶函数。
对应用题或解题过程中出现的函数问题要根据题设及时求出定义域。如04年高考第22题，不少同学因未求出公差d变化范围而致使解题搁浅。
注重对函数基本性质的理解
函数的基本性质有奇偶性、单调性、周期性、反函数的性质等，另外，对函数符号f(x)理解的深度对解题也很重要。如f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1,求f(x)＝2x－1在〔－1,1〕的解析式。错解：x∈(-1,0)时，可得f(x)＝2x＋1,∴f(1)＝1,f(－1)＝－1,f(0)＝0。分析：错解在于对周期没有理解，f(±1)不能用已知解析式来求值。由周期性和奇偶性知，f(1)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝f(－1)＝0,再用分段函数表示即可。
又如函数y=f(a－x)与y＝f(a＋x)的图像关于直线_____对称。很多同学会答x＝a。这是受“函数y=f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图像关于直线x＝a对称”的负迁移所致。其实，以－x代y＝f(x)中的x得到y＝f(－x)，它们的图像关于y轴对称，由此可知它们的图像也是关于y轴对称。
要把这些问题搞清楚，就需要在深刻理解函数性质的基础上，通过综合、分析、比较、总结，才能熟练掌握，运用自如。
注重数形结合
数形结合是解函数问题的重要思想方法，在函数学习中应高度重视，如04年20题第(2)题，要证明方程x2+8x=a2+8a有三个不等的实根。很明显x＝a是它的一个根，把原方程方程化为(x－a)(x+a－8ax)＝0,只要再证明方
程x+a＝8ax有两个不等于a的根即可。从图像可知有一负根，因a＞3,故y＝x+a与y=8ax的图像在第一象限的交点的纵坐标8ax＞3,于是x＜83a＜1,即交点的横坐标x≠a,从而原方程有三个不等的根。
数与形是从两个不同的侧面反映同一问题，对函数、方程等问题要习惯于见数想形。历年的考题中能用数形结合来解的题目比例较大。
注重函数与方程的思想
函数与方程的思想是数学中又一种重要思想方法，函数与方程的相互转化常会起到化难为易、化繁为简的功效。如04年浙江试题：若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f[g(x)]＝0有实数解，则g[f(x)]不可能是()
(A)x2＋x－15(B)x2＋x＋15(C)x2－15(D)x2＋15
本题的关键是通过已知方程找出g[f(x)]与x之间的关系。
解1令t＝g(x)，则x＝g-1(t)，代入原方程得g-1(t)＝f(t)圯[g[g-1(t)]=g[f(t)圯t=g[f(t)]圯x＝g[f(x)]，检验知g[f(x)]不可能是(B)。
解2令t＝g(x)，原方程为x＝f(t)，则t＝g[f(t)]圳x＝g[f(x)]，下略。
二次函数、二次方程、二次不等式间的相互转化集中体现了函数与方程和数形结合的思想，应予重点掌握。
七宝中学文卫星
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| 来 源： 解放日报 |
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