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发散法使数学教学充满活力
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| 中国教育先锋网 2004-02-28 袁文娟 |
常熟市昆承中学
数学课堂教学是实施创造教育，培养学生创新精神和实践能力的主战场。其中发散法就像百花园中的一朵奇葩，放射着动人的光彩。因为发散性思维要求人们从已知的信息出发，通过对已知的信息进行重新组合，使思维沿着不同的方向、不同的角度扩展，从多方面寻求更多更新的答案。提倡创造性思维教学，激发学生发散思维，可以培养学生的变通能力和独创能力，以解决所面临的问题。正因如此，运用发散性思维实施课堂教学，能使数学教学充满活力。
现结合教学实验的经验阐述发散法在数学教学中的应用。
一。一题多变——变化发散
一题多变，主要包括题型变换、条件变换两种形式。例如：填空题与选择题的互换，已知与未知的互换等。具体做法就是让学生经过思考，把原题变成保持原知识点不变的题。通过一题多变，培养学生的变化发散思维。
例如：在复习《四边形》一章时，讲述例题：“求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。”证完后，启发学生：能否把此例题设中的“四边形”改为我们所熟知的特殊四边形，若然，结论又有何变化呢？于是学生得到了下面的题组：①顺次连结平行四边形（或矩形、或菱形、或正方形、或等腰梯形）四条边的中点，所得的四边形有何性质，猜想并证明。②顺次连结对角线互相垂直（或相等）的四边形的四边中点，所得的四边形有何性质，猜想并证明。有的学生思路更开阔，把题组①中的“中点”改为其它特殊点，如：③从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线，求证顺次连结各垂足所得四边形是矩形。有的学生还说出把题组①中的“中点”引伸为较一般的点，比如，把中点改为“三等分点”、“四等分点”，进一步探求结论的变化情况。从而有效的训练了学生的发散思维，达到知识迁移和巧解巧算之目的。
二。一题多问——阶梯发散
一题多问主要有：一题多问型、一带几连带性、题组等形式，这是拓宽思路的先导，也是引水入田的渠道。使设问逐渐加深，引导思维逐渐深化，可有效地培养学生思维的深刻性。
例如：求证方程(m+1)x-2mx+(m+4)=0没有实数根。当学生做完本题后我发问：“谁能把本题改编成二次三项式和二次函数的问题？”全班同学积极性很高，各抒己见，争论不休，最后教师归纳学生提出的各种情况：(1)二次三项式(m+1)x-2mx+(m+4)的值恒为正；(2)函数y=(m+1)x-2mx+(m+4)的图象与x轴没有交点；(3)抛物线y=(m+1)x-2mx+(m+4)在x轴上方；(4)函数y=(m+1)x-2mx+(m+4)的值恒为正。通过上题的纵向变换，沟通了一元二次方程、二次三项式、二次函数之间的关系，同时又总结了△<0在不同数学知识中的广泛应用。学生也会感到数学知识绚丽多彩，其乐无穷。
三。一题多答——分析发散
一题多答主要有：一是对同一问题有不同的表达方式；二是由于条件的不定性，使同一问题有不同的答案。解决这类问题时，要善于抓住问题的本质，并从本质出发，去思考表达或解决这一问题的不同方法，这种以知识点为中心的一题多答，既培养了学生的发散思维能力，还有助于学生准确全面地掌握知识。
例如：我在给学生讲切线长定理时，只给出定理的条件：已知PA、PB是的切线，A、B为切点。要求学生运用自己所学的知识尽可能地找出结论。结果学生找出了：1)有六个直角三角形；2)有三对全等三角形；3)有三组相等线段：4)有四组角相等等八个结论。定理的结论也随之被发现，学生发散性思维得到了一次良好的训练，经历了一个知识的“再发生”的“浓缩过程”，模拟一次数学家的“探索经历”，从而开发他们的智力，培养他们创造性思维。
四。反向思考——逆向发散
逆向思维是发散思维的一种重要形式，它是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题，表现为逆用定义、定理、公式、法则，逆向进行推理，反向进行证明，从反方向形成新结论。逆向思维是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式，逆向思维的训练能使学生不受思维习惯的约束，从而可以提高他们从反向考虑问题的自觉性。
例如：若方程(1)x-2mx+m-m=0, (2) x-(4m+1)x+4m+m=0, (3)4x-(12m+4)x+9m+8m+12=0中，至少有一个方程有实根，求m的取值范围。三个方程中至少有一个方程有实根，就是三个方程中有一个有实根，或两个有实根，或三个都有实根，这样要分七种情况进行讨论，情况太复杂，解题过程太烦琐，需要另辟新径！于是引导学生考虑：“三个方程中至少有一个方程有实根的反面是什么？” 学生回答：“三个方程都没有实数根。” 此时学生会猛然醒悟：从全体实数中排除三个方程都没有实数根的m的值，即得问题的答案。通过上述问题的反面思考，而抵达胜利的“彼岸”，这样把学生倍感头痛的问题，用转化法得到巧解。学生感到轻松、喜悦，对培养探索欲望大有裨益。
五。设计新题——迁移发散
迁移发散就是利用已有知识解决新的问题。要解决新问题要从问题出发，联想与问题有关的所有知识，利用这些知识去分析问题，这样在迁移中发散，发散促进了迁移，从而优化了思维，提高了学生分析问题和解决问题的能力。
例如：已知，则的值为多少？解：根据题意知++=0,而+1· +=0,且，所以1与是一元二次方程++=0的两根，所以1+=，1·=，所以=·=(1+)·=。本题侧重于对已知条件的认识与理解，充分发挥想象，积极联想，构造一元二次方程，利用根与系数的关系来变形应用。它体现了恒等式变形的灵活性，起到了用信息迁移解决新问题，锻炼思维能力的作用。
六。巧解巧算——创造发散
发散性思维不受过去知识的束缚，不受已有经验的限定，不从条条框框出发，而是从各个不同的甚至超越常规的角度去思考和探索问题，利用巧解巧算，培养创造发散。
例如：解方程+=2。此题虽然题型简单，容易求解，但它的解法值得推敲。可以用常规解法（平方法）来解，也可以用换元法(设y=)化归来解，也可以借助因式分解思路应用算术根意义来解，还可以直接运用算术平方根及二次根式意义，考察未知数的取值范围来巧求方程的根。
进行全方位发散思维的训练，拓宽了学生的思路，培养了学生积极探究的精神，使学生的思维水平上升到一个新的台阶。解题速度、解题技巧、解题的准确性都有很大的提高，实现了由知识向能力的升华。
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| 来 源： 《中国教育现代化》2004-1 |
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